padėta daug pastangų kiek galint griežčiau apskaičiuoti iracionaliniai skaičiai. Čia vėl pasikartoja išsėmimo metodas, kurs pasiekia augščiausio laipsnio Wallis’o veikale Arithmetica infinitorum. Drauge prasideda taikymai ir geometrijai. Kepleris savo veikale Stereometria doliorum vinariorum (vyno statinių geometrija) su begalinių mažybių pagalba apskaičiuoja daugelio sukimosi kūnų tūrius. Tačiau Kepleris linksta B. G. M. dydžius laikyti daugiau aktualiais, negu potenciniais. Bonaventūra Cavalieri savo veikale Geometría indivisilibus continuorum nova quadam ratione pramota aiškiai pasireiškia aktualiųjų B. G. M. dydžių šalininku. Cavalieri kreives supranta kaip be galo daug taškų visumą; jis plokščią figūrą laiko be galo daug lygiagrečių stygų visumą, o erdvės kūnas, jo nuomone, esąs be galo daug plokščių pjūvių visuma. Todėl Cavalierio B. G. M. dydžių supratimas yra visai skirtingas nuo graikų koncepcijos.
Pirmųjų begalinių mažybių kūrėju. Archimedo, Keplerio, Cavalierio, Pascalio ir kitų, darbai daugiau atitiko mūsų integri-nio skaičiavimo metodus. Tik Descartes’ui įvedus koordinatinį metodą, bėgai, mažybių analizė pradėjo vystytis mūsų diferencinio skaičiavimo linkme. Pirmosios šios krypties problemos buvo kreivės lietėjų nustatymas, ekstremumų suradimas, kreivių kreivumai ir tt. 'Newtonas ir Leibnizas beveik tuo pat laiku, eidami visai skirtingais keliais, turėdami jau aiškų funkcinių parei-namybių supratimą, bėgai, mažybių analizių metodus apibendrina įvairioms funkcijoms ir tuo nustato naują formalųjį skaičiavimo metodą. Todėl jie ir yra laikomi bėgai, mažybių analizės kūrėjais.
B. G. M. dydžių sąvoką Newtonas su Leibnizu suprato daugiau potencine prasme; jis B. G. M. dydžius nelaiko duotaisiais pastoviais, bet tik ribinio proceso išdava. J. Bernoulli duoda tokį lyg įtikinantį argumentą: jeigu eilutei % + % -f % + Vi o. .. egzistuoja dešimt narių, tai egzistuoja ir dešimtasis; jeigu egzistuoja šimtas narių, tai egzistuoja ir šimtasis; jei jų yra be galo daug, tai egzistuoja ir begalinis, ir todėl eilutė turi begalinį narį, kuris, savaime aišku, yra be galo mažas. J. Bernoulli būtų teisus, jei eilutė būtų duota baigtos formos su visais jos nariais.
Plintant be galo mažybių analizei ir laikant ją B. G. M. dydžiu aktualiąja prasme, nors ir gauta daug naujų įdomių išdavų, tačiau susidurta su prieštaravimais. Visų prieštaravimų priežastis glūdi klaidingame pačios B. G. M. dydžio sąvokos supratime. Lagrange, Cauchy, Gausso, ypač Weier-strasso ir kt. darbais pasiekta, kad visa beg. mažybių analizė buvo pagrįsta vien griežta ribų teorija. B. G. M. dydžio sąvoka, suprasta aktualiąja prasme, buvo visai iš matematikos išmesta. Jei šių laikų analizė ir vartoja bėgai, mažybes diferencialų pavidalu, tai teturi tik simbolinės reikšmės, kad greičiau ir vaizdingiau būtų galima atlikti tam tikrieji veiksmai, tačiau visko pagrinde glūdi ribų teorija, o savaime ir aritmetika. Todėl ir bėgai, mažybių analizės vardas turi tik istorinę prasmę.
Atrodytų, kad pažinus, jog beg. mažvbės, suprastos aktualiąja prasme, veda į logiškus prieštaravimus, ir todėl jokios tikroji buitis tenka paneigti, kad ir bendrai aktualinęs begalybės egzistenciia turėjo būti paneigta. Tiesa, ilgą laiką taip ir buvo galvojama. Čia daugiausia prisidėjo tas horror infiniti begalinio baimė, susidaręs dėl prieštaravimų, gautų iš aktualiųjų bėgai, mažybių sąvokos. Taip pat veikė ir tų laikų filosofų, ypač Kanto, į begalybę pažiūros. Tačiau, pradėjus pūsti naujai matematikos šakai, aibių teorijai, begalybės sąvoka, suprasta aktualiąja prasme, iškyla vėl trans-finitinių skaičių pavidalu. Jų teorijos autorius yra G. Cantor.
B. G. D. skaičių įvedimas į matematiką sukeldavo prieštaravimų paprastiems aritmetikos dėsniams. Visų pirma priėmus B. G. D. skaičių buitį, tekdavo sulaužyti aksiomą totum parte maius (visas didesnis už savo dalį). Antra. B. G. D. skaičiai negalima laikyti nei lyginiais, nei nelyginiais. Trečia. B. G. D. skaičiams negalima taikinti aritmetikos skaičiavimo taisyklių. Dėl panašios rūšies prieštaravimų ir buvo sprendžiama, kad B. G. D. skaičiai visai neegzistuoja. Tačiau G. Cantor pastebi: nėra reikalo reikalauti, kad ir transfinitiniai skaičiai patenkintų tuos pačius dėsnius, kaip ir paprasti natūriniai skaičiai, kaip pvz., įvedus menamuosius skaičius, negalima iš jų reikalauti, kad jie būtij teigiami ar neigiami.
- G. Cantor Vorlesungen über Geschichte der Mathematik 1880—1908 (3 leid. 1907) : F. Hauadorff Grundzüge der Mengenlehre 1914 (2 leid. 1927).
Begarelli Antonio (apie .1490—1585) italų skulptorius, modenietis. Guido Mazzoni mokinys, atgaivino terakotinę (terra cotta) skulptūrą. Jo skulptūros pasižymi stipriu realizmu. Daugiausia jų liko Modenoje, kur B. gyveno. Žymiausios jų: Nuėmimas nuo kryžiaus, Kristaus apraudojimas, Kristaus gimimas.
Bėgas vokiečių menininkų šeima, kuriai pradžią davė Kari (1794—1854), Le Gros mokinys Paryžiuje, kurį laiką dirbęs Italijoje, piešęs daugiausia religinius ir buities paveikslus įvairuojančiu stiliumi. Iš ketu-riu io sūnų du buvo tapytojai: Adalbert (1836—1888) ir Oskar (1828—1883) ir du skulptoriai: Karl (1845—1916) ir Reinhold (1831—1911). Labiausiai iš jų žinomas Reinhold savo monumentaliais ba-